비유클리드 기하학의 혁명적 관점에 대해 탐구해보기

 

기원전 3세기경 유클리드 는 그의 책 원론 에서 수학에서의 5가지 공리를 말하고 있다

이 중 유명한 다섯번째 평행선 공리를 자세히 살펴보다

탄 성분을 서로 다른 두 직선이 교차할 때 2배 각의 합이 180도보다

작으면 이 두 직선을 연장할 때 두 내각의 합이 180도보다 작은 쪽에서 교차한다

앞에 내가 종래에 비해 복잡해 보이고 왠지 국립 유럽 찌가 않다

그래서인지 수학자들은 앞의 4가지 공리를 사용해서 다섯번째 0 b 를

증명할 수 있지 않을까 생각했다

다시 말해 다섯번째는 공리 가 아니라 정리가 아닐까 의심했던 것이다

이 문제는 19세기에 이르러서야 카우스 보여 이 로버츠 부츠 캐링 에 의해 해결된다

마침내 평이 선미가 1에서 다 반까지 의 공유 로부터 유도될 수 없음이 증명된 것이다

더불어 이들은 평행선 공리 가 성립하지 않는 비 합 을 만들었고 이를

비유클리드 기하학 이라고 불렀다

비유클리드 기하학 이라 부정적인 빛 입자가 붙어서 인지 비정상적인

기여하기 라는 느낌을 준다

하지만 사실은 정반대였다 비유클리드 기양 이 보편적 기여하기 고 오히려

유클리드 기하학이 특수한 경우 했던 것이다

기악 은 2000년 만에 신천지를 발견하고 우주와 공간을 새롭게 쓰기 시작했다

유클리드 기하학이 나오기 전까지 공간은 절대 불변의 존재였고 그래서

철학자 칸트는 공간이 인간의 경험을 좋아해서 보편적으로 존재한다 고 선언했다

하지만 비유클리드 기하학이 등장하면서 공간에 대한 패러다임이 혁명적으로 바뀌었다

19세기 역사의 최고 권위자 로 불리는 에릭 홉스봄 은 이를 기하학

에서의 코페르니쿠스적 전환 이라고까지 말했다

일반 사람들은 물론 수 학자들 마저 일대 혼란에 빠졌을 때 한 수학자가 개성 처럼 등장했다

그는 비유클리드 기하학에 토대를 정리 패스 뿐 아니라 4차원 이상의

고차원 기여하게 가능성을 체계적으로 모색했다 고 차원에서도 거리 각도

등을 정해 할 수 있고 다양한 이론을 전개할 수 있음을 밝혔던 것이나

바로 이 만이다 그의 비만 기하학이 아인슈타인의 상대성 이론의 결정적

역할을 했다는 것은 주지의 사실이다

여러분은 4차원 공간을 상상할 수 있는가 쉽지 않을 것이다

수학자들은 왜 이런 난해한 공간을 만들어 놓고 고민하는 걸까 그렇게도 할 일이 없는 걸까

먼저 4 차원 공간에 예를 하나 들어보겠다

2차원 평면에 있는 모든 성분 들의 집합을 생각해보다

그럼 이 선분을 결정하는 것은 양 끝에 2 점일 것이다

그 두 점의 좌표를 각각 데이 이라고 하면 이 성분은 립스 y

expiry 프라임 이라는 4개 변수에 의해 좌우된다

이데 개의 변수로 늘 모든 집합의 공간 이라고 부르기로 하자 그러면 이

공간은 4개면 소로 결정되는 3차원 공간이 되고 이 4차원 공간상의 전파

나가 2000 문간에 3분 하나에 해당한다

이 4차원 공간을 머리속에서 그리기는 쉽지 않다 그냥 이 공간에 다차원

이라고 부르기로 정한 것이다

잘 이해되지 않는가 이게 잘 이해되지 않는 게 어찌 보면 당연하다

패러다임이 바뀌었기 때문이다 다음으로는 1위는 다를 수 있지만 모두

수평인 성분들의 집합을 생각해 보장

이건 몇 차원 일까 만일 선분의 전파 나 a 가 결정되면 나머지 비는 y

값은 갖고 넥스 까만 달라진다

따라서 이 공간은 x y x 프라임 이라는 세 개의 변수로 결정되는

3차원 공간이 된다

이게 도대체 뭐지 이게 우리랑 무슨 상관인데

짜잔 놀라지 마시라

2 3차원 공간이 바로 여러분이 세상을 바라보는 눈 앞에 공간이다

오른쪽 눈과 왼쪽 눈 의 감각 인 차원 영상이 잡히는데 눈의 높이가 같기

때문에 여러분의 되는 일을 3전 공간 으로 해석한다

여러분의 눈과 뇌가 매일 같이 하고 있는 일인데 이를 수학적으로 얘기

아니 왠지 낯설다

뇌가 무의식적으로 순식간에 해내는 애를 9집 말로 설명하려니 더 어려워진거다

그래서 상상도 하기 어려운 고차원 기하학은 어떻게 온거 않아요 라는

질문에 대답은 이렇다

우리의 뇌가 그런 뜻 자주 생각해서 익숙해지면 된다

자 지금부터는 엄밀한 수학의 아니라 하나의 가설이 당 로버 팔을 예로 들어 보다

달걀을 아주 섬세하게 주고 있는 이후 복판의 작동을 인간은 어떻게 조정할까

손가락 마디마디를 표현하는 여러 순 분들의 복잡한 조합을 계산해서 조정한다

이건 선분의 개수와 각각의 움직임에 자유도에 나감 고차원 공간이 되는데

여러 성분들의 하나의 조합을 이 고차원 공간에서의 단점 이라고 생각할 수 있다

그리고 이 한점의 운동회 기질 하면 그것이 바로 노고 팔에 통제하는

프로그램이 되는 것이다

하나하나에 손가락을 따로 계산하면 너무 복잡하고 또 손가락이 끼리 동작을

맞추기도 어렵기 때문이 담

사람의 파일도 이루고 8 과 마찬가지 아닐까

우리가 의식하지 못하지만 인간의 머릿속에 고 청원 공간을 만들어 놓고

마치 한 점이 움직이는 걸로 생각하는 건 아닐까

야구선수의 놀라운 다이빙 캐치 나 피아니스트 위에 현란한 손가락 움직임을 보자

과연 이들이 하나하나의 동작을 의식해서 개선하고 있는걸까

그렇지 않은 것 같다 이들은 전체 동작을 마치 하나의 동작으로 처리하고 있는 것 같다

이처럼 익숙해진 동작은 뇌가 1점을 움직이는 느낌이 들 때까지 연습한 동작이다

자전거 타기나 운전을 생각해보자

처음에는 손동작 다리 동작 하나하나가 신경쓰인다

하지만 익숙해지면 다른 동작을 하면서도 탈 수 있다

연습을 열심히 하면 여러 개의 져 차원 공간 으로 쪼개져 있던 것이 뭐

차원 공간에 1점으로 합쳐지는 것 같다

현중 목 교수는 기하학에 본질은 상상 이라고 했다

하지만 고차원 비유클리드 기하학이 등장하면서 이를 업그레이드 된다

왜냐하면 4차원 이상의 고차원 은 애당초 상상조차 어렵기 때문이다

그래서 다음과 같다 이하 하기란

여러 데이터를 통합해서 단점으로 상상하는 것이다

추측컨대 이건 우리의 뇌가 사용하는 바로 그 기하학 1 지도 모른다